解答：（甲）（1）∵侧面A1C⊥底面ABC，∴A1A在平面ABC上的射影是AC、A1A与底面ABC所成的角为∠A1AC．
∵A1A=A1C，A1A⊥A1C，∴∠A1AC=45°．（2）作A1O⊥AC于O，则A1O⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，连接A1E，则A1E⊥AB，
所以∠A1EO就是侧面A1B与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△A1EO中，A1O＝
AC＝1 2
，OE＝
3
BC＝1，1 2
∴tan∠A1EO＝
＝
A1O OE
．∠A1EO=60°．
3
（3）设点C到侧面A1B的距离为x．
∵VA1?ABC＝VC?A1BC，
∴
?A1O?S△ABC＝1 3
?x?S△A1BC?A1O?S△ABC＝x?S△ABC．（*）1 3
∵A1O＝
，OE=1，∴A1E＝
3
＝2．
3+1
又AB＝
＝2
(2
)2?22
3
，∴S△A1AB＝
2
?21 2
?2＝2
2
．
2
又S△ABC＝
×2×21 2
＝2
2
．∴由（*）式，得2
2
＝x?2
2
＝1．∴x=1
2
（乙）（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
设AE=BF=x，则A'（a，0，a），F（a-x，a，0），C'（0，a，a），E（a，x，0），
∴
=（-x，a，-a），A′F
=（a，x-a，-a）．
C′E
∵
?A′F
＝?xa+a(x?a)+a2＝0，
C′E
∴A'F⊥C'E．
（2）解：记BF=x，BE=y，则x+y=a，则三棱锥B'-BEF的体积为V＝
xya≤1 6
(a b
)2＝x+y 2
a2．1 24
当且仅当x＝y＝
a 2
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