已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1） 2 +（y+1） 2 =12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交

2025-05-09 16:43:40

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回答1：

（1）由

y=kx+1

(x-1 ) 2 +( y+1) 2 =12

，消去y得到（k² +1）x² -（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k）² +28k² +28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=

1+ k 2

|x₁ -x₂ |=2

8-4k+11 k 2

1+ k 2

11-

4k+3

1+ k 2

，
令t=

4k+3

1+ k 2

，则有tk² -4k+（t-3）=0，
当t=0时，k=-

；
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t=

4k+3

1+ k 2

的最大值为4，此时|AB|最小值为2

，
则直线l被圆C截得的最短弦长为2

．