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已知函数f（x）= 2x x+1 （1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．（2）若数列{a n
已知函数f（x）= 2x x+1 （1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．（2）若数列{a n
2025-05-07 04:02:04
推荐回答（1个）
回答1：
（1）∵x≥1得f（x）-x=
2x
x+1
-x=
2x-
x
2
-x
x+1
=
-x(x-1)
x+1
≤0，
而x≥1时，lnx≥0
∵x≥1时，f（x）-x≤lnx
∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a
1
=
2
3
，a
n+1
=f（a
n
），b
n
=
1
a
n
-1，n∈N
+
∴a
n+1
=
2
a
n
a
n
+1
得
1
a
n+1
=
1
2
+
1
2
a
n
∴a
1
=
2
3
，a
n+1
=f（a
n
），b
n
=
1
a
n
-1，n∈N
+
∴
b
n+1
b
n
=
1
a
n+1
-1
1
a
n
-1
=
1
2
+
1
2
a
n
-1
1
a
n
-1
=
1
2
a
n
-
1
2
1
a
n
-1
=
1
2
（n∈N
+
）
又b
1
=
1
a
1
-1=
1
2
∴{b
n
}是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列，其通项公式为b
n
=
1
2
n
又a
1
=
2
3
，a
n+1
=f（a
n
），b
n
=
1
a
n
-1，n∈N
+
∴a
n
=
1
b
n
+1
=
1
1
2
n
+1
=
2
n
2
n
+1
（n∈N
+
）
（3）c
n
=a
n
?a
n+1
?b
n+1
=
2
n
2
n
+1
×
2
n+1
2
n+1
+1
×
1
2
n+1
=
2
n
2
n
+1
×
1
2
n+1
+1
=
1
2
n
+1
-
1
2
n+1
+1
∴c
1
+c
2
+c
3
+…+c
n
=（
1
2
1
+1
-
1
2
2
+1
）+（
1
2
2
+1
-
1
2
3
+1
）+…+（
1
2
n
+1
-
1
2
n+1
+1
）=
1
3
-
1
2
n+1
+1
＜
1
3
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