在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ

2025-05-09 23:04:19
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回答1:

(Ⅰ)证明:因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.…(1分)
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB?平面ABCD,
所以AB⊥平面PBC;…(3分)
(Ⅱ)解:取BC的中点O,连接PO.
因为PB=PC,所以PO⊥BC.
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO?平面PBC,
所以PO⊥平面ABCD.…(4分)
如图,以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
不妨设BC=2.由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得P(0,0,

3
),D(-1,1,0),A(1,2,0).
所以
DP
=(1,?1,
3
),
DA
=(2,1,0)

设平面PAD的法向量
m
=(x,y,z)

因为
m
?