先证明只有分子用等价替换的情况,其他情况可以取倒数证明.
设分子为a+b,各自的等价无穷小为a',b',整体的等价无穷小为(a+b)'
lim(a+b)/c=lim(a+b)/c*1=lim(a+b)/c*(a+b)'/(a+b)=lim(a+b)'/c,这是等价替换的证明.
但如果拆开,我们就要先假设lima/c和limb/c都存在(无穷大不算,一定是一个具体数字),所以有时候你拆不开的.
其次,如果lima/c和limb/c都存在,就有lim(a+b)/c=lima/c+limb/c=lima'/c+limb'/c=lim(a'+b')/c.这时问题又来了.(a+b)'不一定等价于a'+b'看到了没有.这种情况是最常见的,例如我们有tanx-sinx~x²/2,但它不等价于x-x=0.
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